요즘 이곳저곳에서 많은 논란을 일고 있는 확률 문제

조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤,
어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다.
그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.

이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?

요즘 이 문제로 이곳저곳에서 엄청난 논쟁이 벌어지고 있습니다. 일본의 2ch에서 십만개 이상의 코멘트가 날라다니며 시작되었고 이것이 우리나라에도 알려졌다고 하네요. Pgr21에서도 이것으로 인해 엄청난 댓글 논쟁이 벌어졌고 다른 인터넷 게시판에서도 치열하게 다투고 있구요. 구글이나 네이버에 위 문제를 그대로 복사해 붙여보세요.

대체적으로 1/4과 10/49, 두 의견으로 나누어지고 있는데, 10/49가 조금 더 우세하군요. 하지만 1/4도 만만치 않습니다.

제 풀이

이 문제에서 ‘나중에 뽑은 3장의 카드는 다이아이다’라는 조건은 확실히 정해져 있습니다. 그러니 다음과 같이 두가지 경우로 나누어보죠.

  1. 먼저 뽑은 카드는 다이아이고 나중에 뽑은 3장의 카드도 다이아인 경우
  2. 먼저 뽑은 카드는 다이아가 아니고 나중에 뽑은 3장의 카드는 다이아인 경우

각각의 경우의 수를 구해보겠습니다.

  1. 13 * 12 * 11 * 10 = 17160
  2. 39 * 13 * 12 * 11 = 66924

우리는 1번의 확률을 구하는 것이므로 확률의 정의에 따라 17160/(17160 + 66924) = 10/49

답이 1/4라고 말씀하시는 분들은 ‘첫번째 카드를 뽑았을 때 이미 그 확률은 1/4로 정해졌고 그 이후에 무슨 짓을 해도 이것은 바뀔 수 없다’라고 하더라구요. 물론 첫번째 카드가 무엇인지는 정해져 있습니다. 하지만 그렇다고 그 확률까지 정해져 있는 것은 아니죠. 물론, 맨 처음의 확률은 정해져 있지만, 정보가 주어지면 그 확률이 증가할 수 있습니다.

이 문제를 단순화시킨 예가 하나 있더군요.

클로버, 스페이드, 하트, 다이아몬드가 1장씩 뒤집어져서 있습니다. 이 중에서 한 장을 고르되 보지 말고 바로 감춥니다. 지금 상태에서는 이 카드가 다이아일 확률은 1/4입니다. 여기서 사회자는 나머지 3개의 카드 중 아무거나 뒤집었고 클로버가 나왔습니다. 그 카드는 나머지 중의 하나이므로 확률이 1/3로 줄었죠. 하나를 더 뒤집었더니 스페이드가 나왔습니다. 이제 확률은 1/2이 되었군요. 이렇게 원래의 카드 자체가 바뀌지 않더라도 조건에 따라 확률은 달라질 수 있습니다.

어떤 분은 C언어로 프로그래밍을 해서 시뮬레이션을 했더라구요.(능력자분들..) 결과는 물론 10/49가 나왔습니다.

이런 종류의 확률 문제는 재밌네요ㅎㅎ

8 comments

  1. 흐음.. 여러가지 관점에 따라서 달라지는군요.
    뒤에 카드가 모두 다이아3장인것도 확률에 포함시키는 경우와,
    앞의 것만 생각하는 2가지 경우이네요… 처음에는 앞에것만 생각하는경우라고 생각했으나
    생각해보니까 뒤의 것도 포함시켜야겠네요..;;
    이것도 관점의 문제네요..논란이 일어날만 합니다..

    1. ‘이 때’라는 말이 모든 작업이 다 끝난 다음에 있으니까 다이아 3장 나온것도 조건에 포함이 되어야 겠죠.

  2. 그러고보니 이거 그.. 뭐지.. 아 , 몬티홀 문제!! 그 경우와 같다고 생각해도 되지 않을까 싶네… ㅎ 맥락이 비슷해서 ㅎㅎ

    1. 두 개는 조금 달라. 이 문제에서는 무작위로 선택해서 3장의 다이이가 나온 반면에 몬티홀에서는 사회자가 고의로 염소를 고른거지

  3. 난 네 풀이는 이해되는데
    그런식으로 풀면 몬티홀 문제도 1/2 되는거 아닌가?
    음.. 난 이 문제는 10/49, 몬티홀문제는 2/3이 답이라고 생각해.
    한번 단순화를 시켜봐야겠어..

    1. 가장 큰 차이는 이 문제의 경우 무작위로 카드를 뽑았는데 3장의 다이아가 나왔지만, 몬티홀에서는 사회자가 일부로 염소문을 골랐다는 거야. 만약 사회자가 무작위로 문을 선택했는데 염소문이 나왔다면 확률은 1/2이 되겠지.

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