슈뢰딩거 방정식의 고전역학적 근사에서 발견한 신기한 사실


요즘 양자물리 수업에서 WKB 근사법 부분을 나가고 있는데, 최근에 정말 신기한 사실을 배웠다. 슈뢰딩거 방정식을 고전역학의 영역에서1 근사하면 두 식이 튀어나온다. 그 중 하나는 ‘확률밀도의 continuity equation’으로, 확률밀도를 마치 물질의 밀도처럼 생각했을 때의 continuity equation에 해당한다! 유체역학에서 배운 방정식이 왜 갑자기 양자역학에서 튀어나오는지, 정말 황당할 따름이다. 이 사실만으로도 충분히 신기한데, 다른 한 식은 더 쩐다.

다른 한 방정식은 Hamilton-Jacobi equation이며, 이는 뉴턴역학과 동치이다. 이 방정식은 Hamilton 원리의 action에 관한 식이다.2 그런데 이 action이 바로 복소평면 위에서 파동함수의 각성분과 일치한다!3 즉, 파동함수를 복소평면 위에 크기와 방향을 갖는 양으로 표현할 수 있는데, 이 때 ‘방향’이 action과 밀접한 연관성을 가지고 있다는 것이다. 정말 믿을 수 없는 결과였다. 정말 아무 상관도 없어 보이는 두 값이 이렇게 연결이 되다니;; action이라는 것이 도대체 무엇이길래..

  1. 정확히는 포텐셜에너지가 파동함수의 파장보다 매우 느리게 변할 때
  2. 대충 쓰면 계가 변화하는 경로는 action을 최소화하는 방향을 따른다는 것이 Hamilton 원리이다. 여기서 action은 보존장만 작용하는 계의 경우에는 운동에너지와 포텐셜에너지의 차(Lagrangian)의 적분으로 정의된다. Hamilton의 원리는 Lagrange 역학, Hamiltonian 역학 등의 바탕이 된다.
  3. 정확히는 파동함수 각성분에 \hbar 를 곱한 값과 일치한다.

댓글을 남겨주세요.